Potenciação e radiciação – parte 2
Multiplicação de potências de mesma base
Suponhamos que queiramos multipicar as seguintes potências: 2^3 e 2^4
O resultado será: 2^3 . 2^4 = 2.2.2 x 2.2.2.2 = 2^7
Mas 3 + 4 = 7, logo, se tivermos duas ou mais potências de mesma base e quisermos multiplicá-las, manteremos a base e somaremos os expoentes.
E se, em vez de multiplicação, quisermos fazer divisão?
Ora, sabemos que a divisão é a operação inversa da multiplicação, e que a subtração, a inversa da adição. Logo, se tivermos duas potências de mesma base e quisermos dividi-las,manteremos a base e SUBTRAIREMOS os expoentes.
Exemplo: 3^6 dividido por 3^4 —> 3^6/3^4 = 3^(6 – 4) = 3^2 = 9
Obs1: se tivermos dois números de bases diferentes, mas expoentes iguais, e quisermos fazer o produto deles, multiplicaremos as bases e manteremos o expoente.
Ex: 5^4 . 3^4 = (5 . 3)^4 = 15^4
Obs2: todo número elevado a um expoente par será positivo, e todo número elevado a um expoente ímpar terá sinal igual ao da base.
Exemplos: 2^3 = 8, já (-2)^3 = -8. 2^2 = 4 E (-2)^2 = 4
ATENÇÃO! quando quisermos elevar um número negativo a uma potência, ele deverá estar dentro de parênteses, como foi visto nos exemplos acima. A falta de parênteses pode influir a um resultado errado, pois: -2^2 = = -4, pois estamos calculando o negativo de 2^2. Já (-2)^2 = 4, pois estamos elevando o número -2 ao quadrado.
Radiciação
Sabe-se que toda operação matemática possui uma operação inversa. A da adição, por exemplo, é a subtração. A radiciação é a operação inversa da potenciação. Ela nos serve quando queremos saber qual é o valor da base, sabendo-se o expoente.
Obs: para o blog, usaremos as seguintes notações para raiz:
-raiz quadrada (índice 2): sqrt(número). Exemplo: raiz quadrada de 9 = sqrt(9)
-raiz cúbica (índice 3): cbrt(número). Exemplo: raiz cúbica de 8 = cbrt(8)
-raiz de índice 4 ou maior que 4: Nrt (onde N é o número): Exemplo: raiz quarta de 81 = 4rt(81)
Exemplo: sqrt(9) = 3, pois 3^2 = 9;
cbrt (125) = 5, pois 5^3 = 125; 4rt(16) = 2, pois 2^4 = 16, etc.
Propriedades da radiciação (onde a e b são números reais):
Nrt (a . b) = Nrt(a) . Nrt(b) e Nrt (a/b) = Nrt(a) / Nrt(b)
Exemplo: sqrt (36 . 16) = sqrt(36) . sqrt(16) = 6 . 4 = 24;
cbrt (125/27) = cbrt(125) / cbrt(27) = 5/3
Obs.: quando o índice da raiz for um número par, obrigatoriamente a e b deverão ser números positivos; quando se tratar de divisão, independente do índice da raiz, o denominador sempre deverá ser diferente de zero.
Para sabermos qual é a raiz n-ésima (lê-se “nésima”, i.e., a raiz de índice n, n >=2), podemos usar do artifício da fatoração de números.
Exemplo: cbrt(216) = ? Fatoremos o número 216:
216 | 2
108 | 2
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1
216 = 2^3 . 3^3 = (2 . 3)^3 = 6^3 -> como o índice da raiz é 3, a raiz cúbica de 216 é 6, pois 6^3 = 216. Resp: cbrt(216) = 6.
Porém, nem sempre as raízes terão resultados exatos.
Exemplo: sqrt(3) -> não se conhece número racional algum que elevado ao quadrado dá 3. Assim, deixaremos a raiz como está. Para calcular, podemos dispor de uma calculadora ou o problema dará o resultado, caso peça para substituir numa conta. No geral, usa-se sqrt(3) = 1,73, SOMENTE QUANDO SE PEDE PARA SUBSTITUIR A RAIZ POR UM NÚMERO “DECIMAL”. No geral, deixa-se como está.
Exemplo: sqrt(12). Fatoremos o número 12:
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 12 = 2^2 . 3
Como o índice da raiz é 2, temos que sqrt(12) = 2 . sqrt(3), pois sqrt(12) = sqrt(2^2) . sqrt(3)
Autor: rodrigomath1986@ig.com.br - Categoria(s): Sem categoria Tags: