30/06/2009 - 14:32
Definição: uma sequência numérica é uma sucessão de números, de acordo com um padrão pré-estabelecido.
Exemplo: sequência dos quadrados dos números naturais: (1, 4 ,9 16, 25…)
sequência dos números ímpares: (1, 3, 5, 7, 9…)
Uma famosa sequência na matemática é a sequência de Fibonacci, que segue o seguinte padrão:
- o primeiro termo é igual a 1;
- o segundo termo é igual a 1;
- a partir do terceiro termo, cada termo é igual à soma dos dois anteriores. Assim, por exemplo, o terceiro termo será 1 + 1 = 2; o quarto termo será o terceiro mais o segundo, i.e., 2 + 3 = 5
(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 47, 81, …) No geral, An = An-1 + An -2, onde An é o n-ésimo termo da sequência.
Exemplo 2: Seja a sequência numérica: A1 = 2 (A1 = primeiro termo); An = A(n – 1) + 2n. Assim, o segundo termo seria A1 + 2*2 = 1+ 4 = 5; o terceiro termo seria A2 + 2*3 = 5 + 6 = 11; o quarto termo seria A3 + 2*4 = 11 + 8 = 19 etc
(1, 5, 11, 19, …)
Progressões
Uma sequência é classificada de progressão quando um certo termo (excetuando-se o primeiro) é igual ao anterior mais (ou vezes) um número fxo, chamado de razão da progressão. As progressão são classificadas de
1. Progressão Aritmética (P.A);
2. Progressão Geométrica (P.G)
1. P.A
Veja a sequência (1, 4, 7, 10, 13, …) Prestando atenção, podemos perceber que
4 = 1 +3; 7 = 4 + 3; 10 = 7 + 3; 13 = 10 + 3; … Cada termo pode ser calculado somando-se 3 ao termo anterior. Uma sequência que possui essa propriedade é classificada como progressão aritmética.
O valor somado,3, é chamado de razão da progressão, geralmente denotada pela letra r. Essa razão pode ser um número positivo, negativo, ou até mesmo nulo. Nestes casos, as PA’s gerados são classificadas como crescentes, decrescentes e constantes, respectivamente. A PA do nosso exemplo inicial é crescente, pois r = 3 e 3 > 0. Já a PA (8 ,6, 4, 2, …) é decrescente, pois sua razão é igual a -2, e -2 < 0.
Para construirmos uma PA, basta termos ou um termo e a razão ou dois termos, a partir dos quais neste caso podemos calcular o valor da razão. Vejamos os exemplos abaixo:
1 – Em uma PA crescente, o quarto termo vale 13 e a razão da PA vale 2. Qual será o valor do oitavo termo? E do segundo termo?
Basta pensarmos que a razão é a variação de um termo para outro. Do quarto termo para o oitavo “andaremos” quatro “casas”, ou seja, avançaremos quatro termos. Assim, devemos multiplicar a razão por 4, e somar 13 ao resultado (pois o quarto termo é igual a 13). Assim, A8 = A4 + 4r = 13 + 4*2 = 21.
No segundo caso, queremos calcular o valor do segundo termo. Como do quarto termo para o segundo retrocedemos duas casas, devemos diminuir 13 de 2r. Então A2 = A4 – 2r = 13 – 2*2= 9
2 – Em uma PA, o sétimo termo vale 15 e o segundo vale 2. Qual o primeiro termo da PA?
Para decobrirmos o primeiro termo, devemos saber o valor da razão. Como sabemos o valor de dois termos,´isso será possível. Como? Ora, do segundo para o sétimo termo tivemos uma variação de cinco casas, e o aumento numérico dos termos foi de 13 (15 – 2). Como a razão é a varição de um termo para outro, basta então fazermos uma simples regra de três:
em 5 termos, houve um aumento de 13; em um termo, r
13 ———> 5
r ———-> 1 então r = 13/5
Então o primeiro termo pode ser calculado por A1 = A2 – r = 2 – 13/5 = – 3/5.
Mais propriedades de uma P.A:
Para qualquer termo excetuando-se o primeiro e o último (este caso, se a P.A for finita), o valor de tal termo é a média aritmética entre seu antecessor e seu sucessor.
Exemplo: (1, 4, 7, 10,…) –> 4 = (1 + 7)/2; 7 = (4 + 10)/2; etc.
Soma dos n primeiros termos de uma P.A
Vejamos a sequência de números naturais (1,2,3,4,5,6,…), que representa uma P.A, cujo primeiro termo vale 1, e cuja razão vale 1 também.
a) Qual a soma dos seis primeiros termos?
Resp.: vejamos que: 1 + 6 = 7; 2 + 5 = 7; 3 + 4 = 7, i.e., termos equidistantes determinam somas iguais. Como temos seis termos, o total de somas será 6/2 = 3. Como cada soma vale 7, temos que
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 7 * 3 = 21
b) Qual a soma dos 12 primeiros termos?
Resp.: vejamos que 1 + 12 = 2 + 11 = 3 + 10 + 4 + 9 = 5 + 8 = 6 + 7 = 13. Como temos 12 termos, teremos 6 somas, de resultado 13. Então S = (12/2) * 13 = 6 * 13 = 78
No geral, a soma dos n primeiros termos de uma P.A vale S = (A1 + An) * n/2, onde A1 e An são o primeiro e último termo somados, respectivamente, e n é o número de termos somados.
Exemplo: Na PA (2, 5, 8, 11, …), qual será o valor da soma dos 10 primeiros termos?
Resp.: vejamos que a razão vale 5 – 2 = 3, e A1 = 2. Como de A1 para A10 andamos 9 casas, então A10 = 9r + A1 = 9*3 + 2 = 29. Como temos 10 termos, n = 10, e A1 + A10 = 2 = 29 = 31.
Então S = (2 + 29) * 10/2 = 31 * 5 = 155
Obs.: essa fórmula nos serve para somar não apenas do primeiro ao nésimo termo, como também de tal termo até outro.
Exemplo: usando a mesma PA (2,5,8,11,…), qual será a soma do sexto ao décimo segundo termo?
Do sexto ao décimo segundo termo há (12 – 6) + 1 = 7 termos. Somamos um à diferença entre 12 e 6 pois dessa forma estaríamos excluindo o sexto termo; para tê-lo, adicionamos 1. Então n = 7. Falta descobrirmos quanto vale o sexto e o décimo segundo termos. Como o quarto termo é 11, então sexto termo será 11 + 3 + 3 = 17. E o décimo segundo termo? A12 = 6r + A6 = 18 + 17 = 35.
Então S = (17 + 35) * 7/2 = 217.
Exercício: entre 200 e 400, quantos números há que, quando divididos por 11, deixam resto 7?
Resp.: primeiramente, precisamos descobrir qual é o primeiro termo. Dividamos 200 por 11, para começar. A divisão deixa resto 2. Entao 200 + 5 = 205 deixa resto 2 + 5 = 7 quando dividido por 11. Bingo! Achamos o primeiro termo. Como a divisão é sempre por 11, então a razão da P.A. será 11. Como os termos estão entre 200 e 400, precisamos descobrir o último termo. Dividamos 400 por 11. Deixa resto 4, então 400 + 3 = 403 deixa resto 7. Como 403 > 400, então o último termo dessa P.A será 403 – r = 403 – 11 = 392. Quantos termos há? Sabemos que An = (n – 1)*11 + A1, onde An é o último termo. Então 392 = 11(n – 1) + 205.
187 = 11(n – 1) —> n – 1 = 17 assim n = 18. ou seja, 392 é o décimo oitavo termo. Assim há 18 números entre 200 e 400 que, quando divididos por 11, deixam resto 7.
Descobrindo quantos termos foram somados
Em uma P.A finita, cujo primeiro termo vale 3 e cuja razão vale 4, a soma dos seus n termos vale 105. Quantos termos tem essa P.A?
Solução: precisamos calcular o último termo. Já temos o primeiro, e a razão, então a(n) = a1 + (n – 1)x4
a(n) = 3 + 4(n – 1) = 3 + 4n – 4 = 4n – 1
S = (a1 + a(n)) x n/2 —> (3 + 4n – 1) x n/2 = (4n + 2) x n/2 = n(2n + 1) = 105
2n^2 + n = 105 —> 2n^2 + n – 105 = 0 [equação do 2º grau]
%delta = 1^2 – 4×2x(-105) = 1 + 840 = 841 —> n = [-1 +- sqrt(841)]/2×2
sqrt(841) = 29, e n deve ser natural, então n = [-1 + 29]/4 = 28 / 4 = 7
Resp.: esta P.A tem 7 termos
Dicas sobre questões com P.A:
Caso a questão diga: três termos estão em PA e sua soma vale x. Então temos três termos, a, b e c. Chamemos b o termo do meio. Então a é anterior a b, e c é posterior. Assim, a = b -r e c = b + r, sendo r a razão da P.A. Ao somarmos os três termos, temos que b + b – r + b + r = 3b –> Como agora só temos uma variável, descobrimos um dos três termos. Se soubermos a razão, descobrimos os outros dois termos; esta artimanha será muito útil quando estudarmos polinômios.
Se tivermos três termos de uma P.A, o termo central é a média aritmética dos outros dois
(1,4,7) –> 4 = 1/2 (1 + 7)
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12/05/2009 - 15:11
1) (UERJ – 2004) Considere uma compra de lápis e canetas no valor total de R$ 29,00. O preço de cada lápis é R$ 1,00 e o de cada caneta é R$ 3,00.
Calcule a probabilidade de que se tenha comprado mais canetas do que lápis.
Solução: seja L a qtde de lápis e C a qtde de canetas compradas. Então L + 3C = 29. Se L = 1, 3C = 28, o que não é possível. Então, devemos variar a qtde de canetas, C = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} (se C = 10, 3C = 30, ultrapassando 29). Assim:
-Para C = 9, 3C = 27 e L = 2;
-Para C = 8, 3C = 24 e L = 5;
-Para C = 7, 3C = 21 e L = 8. Ou seja, qdo 7 < C < 10, C > L. Assim, somente em duas entre 10 oportunidades a qtde de canetas será maior que a qtde de lápis. Logo, p = 2/10 = 1/5 = 20%.
Resp.: 20%
2) (FUVEST – 2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de
a) 2/9
b) 1/3
c) 4/9
d) 5/9
e) 2/3
Solução:
O dado 1 tem seis opções de resultado, assim como o dado 2. Então o total de resultados que podemos obter com os dois dados é 6 * 6 = 36 (espaço amostral total). A menor soma possível é 1 + 1 = 2, e a maior, 6 + 6 = 12. Logo, as somas dos dois números estão no conjunto {2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. Destes, apenas 2,3,5,7,11 são primos. As somas possíveis de números consecutivos que resultem em algum desses primos são:
2 + 1 ou 1 + 2 = 3; 2 + 3 ou 3 + 2 = 5; 3 + 4 ou 4 + 3 = 7 e 5 + 6 ou 6 + 5 = 11. Logo, dos 36 resultados possíveis, apenas 8 possuem dois números consecutivos cuja soma seja um número primo.
Logo, p = 8/36 = 2/9. letra a
3) (UFF – 2007) Búzios são pequenas conchas marinhas, que em outras épocas foram usadas como dinheiro e hoje são empregadas como enfeites, inclusive em pulseiras, colares e braceletes ou como amuletos em jogos de búzios. No jogo de búzios considera-se a hipótese de que cada búzio admite apenas dois resultados possíveis (abertura para baixo – búzio fechado – ou abertura para cima – búzio aberto)
Suponha que seis búzios idênticos sejam lançados simultaneamente e que a probabilidade de um búzio ficar fechado é igual à probabilidade de ele ficar aberto, ou seja, 1/2.
Pode-se afirmar que a probabilidade de que fiquem 3 búzios abertos e 3 fechados ao cair, sem se levar em consideração a ordem em que eles tenham caído, é:
a) 5/16
b) 9/32
c) 15/64
d) 9/64
e) 3/32
Solução: cada búzio tem duas opções de queda: aberto ou fechado. Assim, no total temos 2*2*2*2*2*2= 64 formas de termos seis búzios abertos e fechados. Agora, devemos criar nosso espaço desejado, com 3 abertos e 3 fechados. Chamemos abertos de A e fechados de F. Assim, devemos ter a sequência de búzios AAAFFF (3 abertos e 3 fechados). De quantas maneiras isso é possível? Ora, basta fazermos a permutação de A e F. Como há 6 elementos, com 3 A’s e 3 S’s, temos então P (6) (3,3) = 6!/(3! * 3!) = 720/36 = 20
Logo, a probabilidade de termos 3 abertos e 3 fechados será 20/64 = 5/16 letra a
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10/05/2009 - 08:40
1 – Experimento aleatório
Todo experimento que, repetido em condições idênticas, pode apresentar diferentes resultados recebe o nome de experimento aleatório. A variabilidade de resultados deve-se ao acaso.
2 – Espaço amostral
O espaço amostral é a união de todos os resultados possíveis em um experimento aleatório
3 – Probabilidade
Probabilidade é uma área da matemática na qual se usa amplamente a análise combinatória. Serve para estudar as chances de um fenômeno acontecer ou não. A lei básica da probabilidade é: (Ed)/(Et), onde:
-Ed: espaço desejado, i.e., a quantidade de casos que favorecem uma condição;
-Et: espaço de todas as possibilidades, favorecendo ou não a condição
Um bom exemplo é o dado. Qual a chance de se tirar o número 4 ao se jogar um dado? Ora, sabemos que há apenas um número 4 nas seis faces do dado, assim nosso Ed = 1. Já o dado tem seis faces, logo o Et = 6.
Assim, a chance de se tirar 4 ao se jogar um dado é 1/6, aproximadamente igual a 16,6%. Na verdade, cada número de 1 a 6 num dado tem a mesma chance de ser sorteado, 1/6. A soma de todos os eventos desejados nos dá o espaço total.
Exemplo 2: Lançam-se duas moedas honestas e observam-se os resultados. Qual a probabilidade (ou chance) de se obter duas coroas?
Chamemos C de cara e K de coroa. Para se obterem duas coroas, a primeira moeda deverá ser coroa E a segunda também. A probabilidade de a primeira ser coroa é 1/2; a chance de a segunda ser coroa é também 1/2. Quando em um problema temos o conectivo E, isso significa que devemos multiplicar as probabilidades envolvidas. Assim, a chance de se tirar duas coroas é (1/2)*(1/2) = 1/4.
Quando em um problema tivermos o conectivo OU, devemos somar as probabilidades. Isso se deve ao fato de que, quando temos o conectivo E, os eventos sao dependentes entre si, quer dizer, para que um aconteça, o outro deve acontecer também. Assim, a chance de os dois ocorrerem é menor, e então multiplicamos. Já quando falamos de OU, estamos falando de eventos que não são dependentes entre si, assim temos mais probabilidades, logo devemos somá-las.
4 – Evento complementar
Consideremos um evento E relativo a um espaço amostral Et. Chamamos evento complementar de E – daremos a ele o nome de Ec – ao evento que ocorre se, e somente se, E não ocorre.
Exemplo: Uma urna contém 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retira-se ao acaso uma bola dessa urna. Se E é o evento ocorre múltiplo de 3, vamos determinar Ec:
Et = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} e E = {3,6,9}
Assim, Ec = {1,2,4,5,7,8,10} e representa o evento “não ocorre múltiplo de 3″. Veja que E U Ec = Et.
Exercícios
1 – Serão sorteados três prêmios iguais entre os alunos: André, Carlos, Ricardo, Leo, Maria e Carla. O evento E é formado pelos agrupamentos em que há “pelo menos dois meninos premiados”. Determine Ec.
Solução:
Se em um evento ao menos dois meninos são premiados, no complementar nenhum ou no máximo um menino é premiado. As opções são:
Ec = {André, Maria, Carla}, {Leo, Maria, Carla}, {Carlos, Maria, Carla} e {Ricardo, Maria, Carla}. Não há sorteios com nenhum menino, pois são três prêmios e há somente 2 meninas.
5 – Probabilidades em espaços amostrais equiparáveis
Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna? Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com um número maior que ou igual a 11?
Temos: Et = {1,2,3,…,15}. O evento Ed será: “número da bola sorteada é maior que ou igual a 11}. Temos Ed = {11,12,13,14,15}
Assim, p = 5/15 = 1/3. (p de “probabilidade”)
Mais exemplos
1) Um dado é lançado para cima e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade de esse número ser:
a) menor que 3; b) maior ou igual a 3.
memor que 3 e maior ou igual a 3 são eventos complementares. A soma da probabilidade de dois eventos complementares é igual a 1 (se estiver um forma de fração) ou 100% (se estiver em forma de porcentagem)
Nosso Et é {1,2,3,4,5,6}. Nosso E (número menor que 3) será {1,2}. Assim, E = 2/6 = 1/3
Sabemos que E + Ec = 1, logo Ec = 1 – E = 1 – 1/3 = 2/3 (chance de se tirar um número maior ou igual a 3)
Resp.: a) 1/3; b) 2/3
2) Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual a probabilidade de observarmos:
a) exatamente uma cara?
b) no máximo duas caras?
Solução: vamos usar nossas ideias de análise combinatória. Primeiro passo é determinar nosso espaço amostral total (Et). No primeiro lançamento temos duas chances de resultado; no segundo também, assim como no terceiro. Logo, nosso espaço amostral terá 2*2*2 = 8 chances (ou sequências).
Agora, vamos descobrir quantas sequências possuem exatamente uma cara. Chamemos cara de C e coroa de K. Como são três lançamentos. temos então que ordenar C K K (uma cara e duas coroas). Isso pode ser feito de três vezes, já que C K K é uma permutação de três elementos, com um deles repetindo-se duas vezes. Assim, P (3) com 2 repetidos = 3! / 2! = 3.
Logo, a) Ed/Et = 3/8
b)
Primeira maneira: agora temos três casos: quando não tiramos nenhuma cara OU quando tiramos uma cara OU quando tiramos duas caras. Pelo item a, sabemos que a chance de se tirar uma cara é 3/8. A chance de se tirar duas carás será…? Ora, com duas caras temos os elementos C C K a serem permutados. Eles têm 3 formas (3!/2!) formas de se permutarem, assim a chance de se tirar duas caras é igual a 3/8. Já a chance de se tirar nenhuma cara é igual à chance de se tirar 3 coroas, que é igual a 1/8.
Assim, 3/8 + 3/8 + 1/8 = 7/8
Segunda maneira: pensemos no evento complementar. Se um evento diz “no máximo duas caras em três”, o evento complementar é “três caras”. A chance de se tirar 3 caras é (1/2) * (1/2) * (1/2) [já que em cada lançamento a chance de se tirar cara é sempre 1/2] = 1/8. Assim, a chance de se tirar no máximo duas carás será 1 – Ec = 1 – (1/8) = 7/8
3) Uma classe tem 5 meninos e 10 meninas. Deseja-se formar uma comissão de três alunos para representantes de uma classe. Qual a probabilidade de essa comissão vir a ser formada somente por meninos?
Solução: nosso espaço amostral são todas as comissões de três alunos. No total, temos 15 alunos, e podemos formar C (15,3) comissões de 3 alunos. Assim, C (15,3) = (15 * 14 * 13)/3! = 455
Já o número de comissões somente com meninos será C (5,3) – já que temos cinco meninos.
Assim, C (5,3) = (5 * 4 * 3)/3! = 10
Logo, p = Ed/Et = 10/455 = 2/91 —> aproximadamente igual a 2,2%.
4) Escolhe-se, ao acaso, um dos anagramas da palavra XADREZ. Qual a probabilidade de tal anagrama escolhido começar por XA?
Solução:
O número de elementos de Et é o número de permutações da palavra XADREZ. Então Et = P(6) = 6! = 720.
O evento Ed que nos interessa é “a palavra começa por XA”. Temos: XA ___ ___ ___ ___. definidas as duas primeiras letras, há P(4) = 4! = 24 maneiras de se preencherem as lacunas restantes.
Assim, n(Ed) = 4! = 24. logo, p = 24/720 = 1/30
5) (PUC-SP) Numa gaiola estão nove bolas numeradas de 1 a 9. Selecionando-se ao acaso duas dessas bolas, a probabilidade de ambos as bolas pegas terem numeração ímpar:
a) é menor que 20%
b) está entre 20% e 30%
c) está entre 30% e 40%
d) é maior que 40%
Solução: primeiro, determinemos nosso espaço amostral, que será C (9,2) [já que selecionaremos duas bolas de 9], logo temos C (9,2) = (9 * 8)/2! = 72/2 = 36 modos de se sortearem duas bolas.
Agora, calculemos as maneiras de se sortearem duas bolas com numeração ímpar. Temos cinco bolas com números ímpares, assim temos C (5,2) = (5 * 4)/2! = 20/2 = 10
Logo, p = 10/36 = 5/18 = 0,27777… = 27,7%; 20 < 27,7 < 30 letra b
Dicas para se saber o evento complementar:
-no mínimo n — no máximo (n – 1). Exemplo: no mínimo 1 —> nenhum; no mínimo 3 —-> no máximo 2. O mesmo vale para máximo, cujo complementar, em vez de n – 1, será “no mínimo (n + 1) (vide exemplo 2 item b);
-A e B —-> não A ou não B. Exemplo: azul E vermelho —-> não azul OU não vermelho
Autor: rodrigomath1986@ig.com.br - Categoria(s): Sem categoria
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05/05/2009 - 16:30
Eis o link, com uma lista de exercícios comentados de porcentagem:
http://sites.google.com/site/pvscederjpenha/matematica/Listaporcentagem.pdf?attredirects=0
Eis uma lista com questões de ENEM – lista 1
http://sites.google.com/site/pvscederjpenha/matematica/LISTA1ENEM.pdf?attredirects=0
Autor: rodrigomath1986@ig.com.br - Categoria(s): Sem categoria
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04/05/2009 - 19:55
1) (FUVEST – 2007) Em uma classe de 9 alunos, todos os alunos se dão bem uns com os outros, com exceção de Andrea, que não se dá bem com Manoel e Antônio.
Nesta classe, será formada uma comissão de cinco alunos, com a exigência de que todos os alunos da comissão se deem bem uns com os outros.
De quantas maneiras esta comissão poderá ser formada?
Solução:
Como escolher Beltrano e Sicrano é o mesmo que escolher Sicrano e Beltrano, temos aqui um problema que envolve combinação. O número total de comissões que podemos formar com cinco alunos, independente de exigências, é 5
ssssssssssssC = (9 * 8 * 7 * 6 * 5)/5! = 126
cccccccccccc9
Vamos então pegar todas as comissões em que haja Andrea, Manoel e Antônio (aquelas que não seguem a exigência). Como já temos três membros fixos, restam dois a serem escolhidos de seis. Assim, podemos formar (6 2) = (6 * 5)/2! = 15 comissões em que haja Andrea, Manoel e Antônio.
Agora, comissões em que haja Andrea e Manoel—> (6 3) = (6 * 5 * 4)/3! = 20
Agora, comissões em que haja Andrea e Antônio —> (6 3) =20
Assim, temos 15 + 20 + 20 = 55 comissões desarmoniosas. Logo, o número de comissões harmoniosas será 126 – 55 = 71
Segunda maneira (recomendada): façamos todas as comissões:
-Sem Andrea;
-Com Andrea e sem Manoel E Antônio
Sem Andréa: so haverá 8 alunos a serem escolhidos. Assim, C (8,5) = C (8,3) = 56.
Com Andréa e sem Manoel E Antônio: como Andrea já é fixa, e temos dois alunos de fora da “seleção”, restam-nos seis opções de escolha, e devemos escolher mais quatro, assim C (6,4) = C (6,2) = 15
Assim, o número de comissões harmoniosas será 56 + 15 = 71
2) (FUVEST – 2004) Três empresas devem ser contratadas para realizar quatro trabalhos em um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma única empresa e todas elas devem ser contratadas. De quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 24
d) 72
e) 108
Solução:
Temos 4 trabalhos para 3 empresas. Assim, a solução seria, inicialmente, A(4,3) = 4 * 3 * 2 = 24. Porém, sobrou um trabalho. Como este trabalho restante poderá ser alocado em uma de três empresas diferentes, teremos, pois, 3 * 24 = 72 maneiras de distribuir os serviços. (Uma empresa ficará a cargo de dois serviços)
Resp.: letra d
3) (FUVEST – 2001) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem crescente,
serão designadas por h1, h2, …, h10 (h1 < h2 < … < h9 < h10 ). O professor vai escolher cinco
desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles se apresentarão alinhados, em ordem
crescente de suas alturas. Dos 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos, o estudante, cuja
altura é h7 , ocupará a posição central durante a demonstração?
a) 7
b) 10
c) 21
d) 45
e) 60
Solução:
Como h7 deve ser o membro central, logo à esquerda dele só poderá haver dois dos elementos de h1 a h6. Temos assim (6 2) = 15 formas de scolher 2 membros entre h1 e h6 para ocupar as duas posições à esquerda de h7. Já à sua direita só poderá haver 2 dentre os elementos h8, h9 e h10. Temos pois (3 2) = 3 formas de escolher dois elementos entre h8 e h10 para pôr à direita de h7. Assim, temos 15 * 3 = 45 maneiras de escolher 5 alunos nas quais o h7 será o membro central.
Resp.: letra d
4)
(Ufscar – 2007) Um encontro científico conta com a participação de pesquisadores de três áreas, sendo eles: 7 químicos, 5 físicos e 4 matemáticos. No encerramento do encontro, o grupo decidiu formar uma comissão de dois cientistas para representá-lo em um congresso. Tendo sido estabelecido que a dupla deveria ser formada por cientistas de áreas diferentes, o total de duplas distintas que podem representar o grupo no congresso é igual a
a) 46.
b) 59.
c) 77.
d) 83.
e) 91.
Solução: pelo PFC:
Um químico e um físico: 7 * 5 = 35;
Um químico e um matemático: 7 * 4 = 28;
Um físico e um matemático: 5 * 4 = 20
Somando os três casos, temos 28 + 35 + 20 = 83 letra d
Autor: rodrigomath1986@ig.com.br - Categoria(s): Sem categoria
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30/04/2009 - 14:57
Vimos exemplos do PFC nas aulas de análise combinatória: o lema 1 e o lema 2. O lema 1 trata-se de formar pares (ou qualquer n-upla — agrupamento de n elementos) a partir de conjuntos diferentes. O exemplo que vimos foi a da lanchonete, para saber quantos lanches poderíamos formar com um suco, um salgado e um doce, sendo que tínhamos 4 opções de suco, 3 de salgado e 3 de doce. A resposta é 4 * 3 * 3 = 36 (multiplicamos as quantidades dos elementos de cada conjunto)
Já o lema 2 nos foi útil para formar pares (ou n-uplas) a partir de 2 ( ou n ) conjuntos iguais, sendo que não poderíamos formar n-uplas com elementos iguais. A solução era n * (n – 1) para duplas. Se quiséssemos fazer com mais elementos, basta ir dimuindo uma unidade de n em cada casa. Se forem trios, será
n * (n – 1) * (n – 2). Agora, daremos nomes a alguns exemplos, para agilizar o trabalho.
Arranjo – definição
Arranjo é o nome da definição do lema 2 do PFC. Temos P elementos, e a partir deles queremos formar n-uplas com elementos diferentes. Exemplo: a partir dos algarismos 1,2,3,4,5 e 6, quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar?
Resposta: 6 * (6 – 1) * (6 – 2) = 6 * 5 * 4 = 120. A este tipo de problema damos o nome de arranjo. Seu símbolo é A (n,p) [obs: n e p estão em caixa baixa em livros, i.e., escritos meio que como um rodapé ao lado do A. Como aqui não temos a configuração para subscrito, botei em parênteses], onde n é o número de elementos que temos disponível e p é o número de elementos que nossa n-upla terá. No exemplo que vimos, p = 6 e n = 3, logo temos A (6,3) = 6 * 5 *4 = 120. O que percebe? Que decrescemos o 6 até ocuparmos 3 casas. Quer dizer, o P será decrescido tantas vezes o N dizer.
Treinando: A (5,2) = 5 * 4 = 20; A (7,3) = 7 * 6 * 5 = 210; A (8,4) = 8 * 7 * 6 * 5 = 1680 etc.
Vamos agora para o campo prático: Temos 7 cores e queremos pintar quatro paredes, cada uma de cor diferente. De quantas maneiras podemos realizar a pintura?
Resp.: A(7,4) = 7 * 6 * 5 * 4 = 840 maneiras.
Pronto! Demos nome ao lema 2 do PFC: arranjo. Logo, se você vir tal nomenclatura em alguma prova ou exercício, já sabe do que se trata.
Permutação
Veja o exemplo a seguir:
Quantos são os anagramas da palavra “búlgaro”? (obs: anagrama é qualquer “variação” da palavra original, trocando-se as letras de lugar)
Búlgaro tem 7 letras. Se vamos trocar as letras de lugar, temos então o seguinte resultado:
Primeira letra: 7 opções;
Segunda letra; 6 opções;
Terceira letra: 5 opções;
Quarta letra: 4 opções;
Quinta letra: 3 opções;
Sexta letra: 2 opções;
Última letra: 1 opção
O resultado é: 7 * 6 * 5 *4 * 3 * 2 * 1 = 5040. Veja que temos um tipo de arranjo, em que n = p (i.e, o número de elementos disponíveis é igual ao número de campos preenchidos). Casos assim são chamados permutação. Permutação é quando temos um conjunto de elementos, já definido, e trocamos de lugar alguns elementos. Seu símbolo é P (n), e assim temos P (n) = n * (n – 1) * (n – 2) … * 1
Obs.: quando temos n * (n – 1) * (n – 2) … * 1, chamamos esse resultado de n fatorial, cujo símbolo é n!
Exemplo: 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24; 6! = 6 * 5 * 4 *3 * 2 * 1 = 720; 3! = 3 * 2 * 1 = 6 etc.
Assim, P (n) = n!
Combinação
Veja o problema a seguir: uma comunidade resolveu fazer uma “miniloteria” da seguinte forma: a pessoa poderia escolher 3 dentre 10 números, que variam de 1 a 10. Se acertasse os 3 números sorteados, ganharia o prêmio. De quantas maneiras uma pessoa poderia escolher três números nessa “miniloteria”?
Ela tem 3 opções de escolha em 10, logo temos A (10,3) = 10 * 9 * 8 = 720. No entanto, se ela escolher os números 4, 7 e 8, é a mesma coisa que se ela escolher 7, 8 e 4, por exemplo. Ou seja, a ordem dos elementos não influencia no resultado. Isso quer dizer que temos um excesso de opções nesse arranjo. Assim, precisamos eliminar as opções que foram contadas mais de uma vez. Veja que cada trio é contado 3! = 6 vezes (os elementos 4,7 e 8 por ex. podem se agrupar de 6 formas diferentes). Assim, devemos dividir 720 por 6. Logo, o resultado na verdade será 720/6 = 120.
Este tipo de situação, em que a ordem os elementos escolhidos não influi no resultado, chama-se combinação. A diferença dele para o arranjo é que no arranjo a ordem os elementos, sim, influi no resultado do problema. Assim, na combinação, devemos proceder da seguinte forma:
-Temos n elementos, dos quais devemos selecionar p. Assim, Temos A (n,p);
-Devemos dividir o resultado encontrado por p!, pois cada p-upla de elementos pode se permutar de p! formas.
Assim, a combinação de n para p é igual a A (n,p) / p! Para simplificar as coisas, o símbolo da permutação é
sp
C ou C (n,p) = (n p) [obs: essa representação é na vertical, na verdade), onde:
sn
-n é o número que será decrescido p vezes;
-p é o número de elementos escolhidos, e será o denominador, na representação p!
Assim, no exemplo da loteria, o resultado será C(10,3) = (10 3) = (10 * 9 * 8)/3! = 720/6 = 120
Para treinar: C (5,2) = (5 2) = (5 * 4)/2! = 20/2 = 10
C(6,3) = (6 3) = (6 * 5 *4)/3! = 120/6 = 20
C(7,4) = (7 4) = (7 * 6 * 5 * 4)/(4!) = 840/24 = 35 etc
Propriedade dos números “combinatórios” (nome real: binomiais)
C (n, p) = C (n, n – p). Exemplo: C (10,8) = C (10,2), pois 8 +2 = 10; C (6,2) = C (6,4), pois 2 + 4 = 6 etc.
Por que essa propriedade é útil? Será útil quando se trabalha com combinações em que temos, por exemplo, um p cujo valor é apenas um pouco menor que n, por exemplo C (20,18). Em vez de termos de desenvolver 18 fatores partindo do 20, podemos dizer que C (20,18) = C (20,2) e assim abrir apenas dois fatores.
ATENÇÃO! Ao se fazer tal mudança, faça como eu disse acima, falando por ex. que C (20,18) = C (20,2). Não escreva direto C (20,2)!
Então lembrete:
-Arranjo é quando a ordem os elementos importa;
-Combinação é quando a ordem NÃO importa.
Exercício 20 do capítulo 4 – página 26
De quantos modos é possível dividir 15 atletas em 3 times diferentes, Esporte, Tupi e Minas?
Veja que, se escolhermos os atletas A B C D E é o mesmo que escolher os atletas B C A E D por exemplo,assim este é um problema de combinação. Temos três times.
Comecemos com o primeiro time, Esporte: temos de escolher 5 atletas entre 15, assim temos (15 5) opções de escolha (combinação de 15 para 5, assim que se lê): (15 5) = (15 * 14 * 13 * 12 * 12)/5! = 3003
Agora, o segundo time, Tupi: temos agora 10 opções de escolha (já que 5 foram para o prmeiro time), assim temos
(10 5) opções de escolha: (10 5) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6)/5! = 252
Para o terceiro time, Minas, temos 5 opções de escolha para 5 vagas. Como a ordem não importa, só temos uma opção de escolha. Definidas as combinações, devemos multiplicá-las todas:
Assim, o resultado será (15 5) * (10 5) * 1 = 3003 * 252 = 756756
Resp.: 756756 modos.
Exercício 21 do capítulo 4 – página 26
De quantos modos é possível dividir 15 atletas em 3 times diferentes?
Qual a diferença deste problema para o anterior? É que neste não temos equipes “defindas”, quer dizer, tanto faz como eu separar os 15 atletas, que não fará diferença. No anterior faria diferença, já que as equipes tinham nomes próprios, e trocar uma equipe de um time para outro faria diferença. Como nesse caso não faz diferença, dividiremos o resultado total que acharmos (procede-se da mesma forma que no exercício anterior) por 3! = 6, já que as 3 equipes podem permutar-se de 6 maneiras diferentes. Assim, neste caso, o resultado final é 756756/6 = 126126.
Abaixo, a resolução.
Veja que, se escolhermos os atletas A B C D E é o mesmo que escolher os atletas B C A E D por exemplo,assim este é um problema de combinação. Temos três times.
Comecemos com o primeiro time: temos de escolher 5 atletas entre 15, assim temos (15 5) opções de escolha (combinação de 15 para 5, assim que se lê): (15 5) = (15 * 14 * 13 * 12 * 12)/5! = 3003
Agora, o segundo time: temos agora 10 opções de escolha (já que 5 foram para o prmeiro time), assim temos
(10 5) opções de escolha: (10 5) = (10 * 9 * 8 * 7 * 6)/5! = 252
Para o terceiro time,temos 5 opções de escolha para 5 vagas. Como a ordem não importa, só temos uma opção de escolha. Definidas as combinações, devemos multiplicá-las todas:
Assim, o resultado será (15 5) * (10 5) * 1 = 3003 * 252 = 756756. Porém, como dissemos acima, devemos dividir o resultado por 6, logo temos 126126 maneiras.
Resp.: 126126 modos.
Exercício de vestibular número 8 – página 29
Numa comunidade, foram recrutadas 25 pessoas para o combate à dengue. Essas pessoas vão trabalhar em duplas, para visitar as residências. O número máximo de duplas diferentes é:
a) 52
b) 104
c) 300
d) 750
Solução: combinação de 25 para 2 (já que a ordem os membros da dupla não importa)
Assim, Duplas = (25 2) = (25 * 24)/2! = 600/2 = 300 letra c
Permutação com repetição
Problema: quantos anagramas possui a palavra BARATA? Se as letras fossem todas diferentes, o resultado seria P (6) = 6! = 720. No entanto, a letra A aparece 3 vezes. Como se trocarmos as letras A de lugar uma com as outras não muda a palavra, devemos dividir o resultado por 3! (já que elas podem se permutar de 6 formas). Logo, BARATA tem na verdade 720/3! = 120 anagramas.
Se um elemento repetir, devemos dividir o resultado da permutação por p!, onde p é o número de vezes que o elemento se repete. Se mais de um elemento se repetir, devemos dividir também pela quantidade de vezes que tal elemento se repete.
Exemplo: Quantos anagramas possui a palavra GARRAFA?
A letra R repete-se duas vezes, logo devemos dividir por 2!;
A letra A, três vezes, logo devemos também dividir por 3!
P (7) = 7!, logo o número de anagramas será 7!/(2! * 3!) = 5040/12 = 420 anagramas
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30/04/2009 - 14:10
1 ) (4/10) = (12/x) —-> 4 * x = 12 * 10 —> x = 120/4 = 30 logo 4/10 = 12/30
Para reduzir frações, a dica é decompor os números em fatores primos, e eliminar em cima e em baixo os que estão em comum.
2 ) 12/9 = (4 * 3)/(3 * 3) = 4/3
3 ) 72/108 = (36 * 2) / (36 * 3) = 2/3
4 ) 1/2 + 1/3 + 1/6 = ?, M.M.C (2,3,6) = 6.
1/2 = 3/6 ; 1/3 = 2/6 —> 3/6 + 2/6 + 1/6 = (3 + 2 + 1)/6 = 6/6 = 1
Logo, 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1
5 ) 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + 1/5
Façamos por partes. Os negativos são -1/2 e -1/4 —> -1/2 – 1/4 = -2/4 – 1/4 = -3/4
1/3 + 1/5 —> M.M.C (3,5) = 15; 1/3 = 5/15 e 1/5 = 3/15 logo 5/15 + 3/15 = 8/15
Assim, (1 – 3/4) + 8/15 = 1/4 + 8/15 —> M.M.C (4,15) = 60 —> 1/4 = 15/60 e 8/15 = 32/60
Logo, 15/60 + 32/60 = 47/60/Resp.: 47/60
6 ) 3/5 de 7/6 = (3/5) * (7/6) = (3 * 7)/(5 * 6) = 21/30 = 7/10
7 ) 12% de 40 = (12/100) * 40 = 480/100 = 4,8
8 ) 8% de 30 = (8/100) * 30 = 240/100 = 2,4
9 ) 15% de 25% = (15/100) * (25/100) = (3/20) * (1/4) = 3/80
10 ) (1/3) / (2/5) = (1/3) * (5/2) = 5/6
12) terça parte = 1/3 —> (1/3) * (6/5) = 6/15 = 2/5
17 ) 1/sqrt(3) = sqrt(3) / 3
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30/04/2009 - 13:57
1) a) 2^(3^2) = 2^9 = 512
b) (2^3)^2 = 8^2 = 64
c) 9^(3/2) = sqrt(9^3) = 3^3 = 27
d) 8^(-2/3) = (1/8)^(2/3) = cbrt(1/8^2) = cbrt(1/64) = 1/4
e) (10^3 * 10^5)^0,25 = (10^(3+5))^(1/4) = 10^(8/4) = 10^2 = 100
f) 6^3 / 3^3 = (6/3)^3 = 2^3 = 8
g) cbrt(4^2 * 32) = cbrt(2^4 * 2^5) = cbrt(2^9) = 2^3 = 8
3) A metade de 2^10 é: 2^10 / 2 = 2^(10 – 1) = 2^9
8 ) 1 mol = 6,02 * 10^23 átomos, 500 moles = 500 * 6,02 * 10^23 = 3010 * 10^23 = 3,010 * 10^(23 + 3) [já que depois da vírgula no número 3,010 há 3 casas decimais, somamos 3 ao 23 no expoente] = 3,01 * 10^26 átomos.
10) 150000000 = 1,5 * 10^8 km; 1 km = 1000 m = 10^3 m, logo 1,5 * 10^8 km = 1,5 * 10^8 * 10^3=
1,5 * 10^(8+3) = 1,5 * 10^11 metros
11) 9500000000000 = 95 * 10^11 = 9,5 * 10^(11 + 1) = 9,5 * 10^12 km
Para metros, multiplicar por 10^3, logo 9,5 * 10^12 * 10^3 = 9,5 * 10^15 metros
17) 6,6 bilhões —-> 1 bilhão = 10^9, logo 6,6 bilhões = 6,6 * 10^9
Exercício vstibular – número 5
A dica é: todo número que é decomposto em potências de 2 E 5 tem a potência 10 em algum momento.
2*19 = 2^15 * 2^4, logo 2^19 * 5^15 = 2^15 * 5^15 * 2^4 = (2 * 5)^15 * 2^4 = 16 * 10^15
10^15 tem 15 zeros, e 16 tem dois algarismos, logo N tem 15 + 2 = 17 algarismos. letra A
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24/04/2009 - 16:10
1) (UFF – 2001) Uma fábrica produz três modelos de carro. Para cada modelo o cliente deve escolher entre sete cores diferentes, cinco tipos de estofamento e vidros brancos ou verdes. Além disso, o cliente pode adquirir, opcionalmente, o limpador de vidro traseiro. De quantas maneiras distintas essa fábrica pode montar carros para atender a todas as possíveis escolhas desses clientes?
Solução: Usemos o PFC.
-Para o modelo, temos 3 opções;
-Para a cor, 7 opçoes;
-Para o estofamento, 5 opções;
-Para o vidro, 2 opções;
-E ainda a opção de limpador traseiro.
Assim, temos: 3 * 7 * 5 * 2 * 2 = 420 maneiras para montar os carros.
2) (UFRJ – 2001) A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma combinação com cinco algarismos, todos variando de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera, mas sabe que atende às condições:
-se o primeiro algarismo é ímpar, então o último também é ímpar;
-se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro;
-a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.
Quantas combinações diferentes atendem às condições do Dr. Z?
Solução: o código tem forma X1 X2 X3 X4 X5
O segundo e terceiro algarismos (X2 e X3), quando somados, dão 5. As opções de dois algarismos que somados são 5 são (0,5), (5,0), (1,4), (4,1), (2,3) e (3,2), tendo assim 6 opções. A quarta casa tem 10 opções de algarismos, pois não há condições sobre ela.
Agora:
-se o primeiro algarismo for ímpar, o último será ímpar, e temos 5 algarismos ímpares.
Assim, temos: 5 * 6 * 10 * 5 = 1500 opções;
-se o primeiro algarismo for par, o último será igual ao primeiro. Temos 5 algarismos pares, e na última casa só temos uma opção, pois esta depende do primeiro algarismo.
Assim, temos: 5 * 6 * 10 * 1 = 300 opções
Somando-se os dois casos, temos: 1500 + 300 = 1800 opções
Resp: 1800 opções.
3) (FUVEST) Em uma festa, havia 37 pessoas, homens e mulheres. Os homens se cumprimentavam com um aperto de mão na entrada e na saída; homens e mulheres se cumprimentavam com um aperto de mão somente na entrada; e mulheres se cumprimentavam com um abraço. No total, houve 720 apertos de mão. Quantas mulheres havia nesta festa?
Solução: quantidade de homens: H; quantidade de mulheres: 37 – H.
Definidas as quantidades de cada, analisemos dois casos:
1 – cumprimentos entre homens: usando a ideia do lema 2 do PFC, temos dois conjuntos iguais. Cada homem cumprimentará H – 1 homens, e temos H homens. Assim, a quantidade de cumprimentos será [H(H - 1)]/2 (dividimos por 2, pois a ordem de quem cumprimentou quem não importa). No entanto, os homens se cumprimentam na saída também, logo devemos multiplicar a qtde por 2, e assim temos H(H – 1).
2 – cumprimentos entre homens e mulheres: usando a ideia do lema 1 do PFC, temos dois conjuntos diferentes e queremos fazer pares com um elemento de cada conjunto. Basta, pois, multiplicarmos as qtdes dos conjuntos, tendo assim H(37 – H)
Houve 720 apertos de mão, logo H(H – 1) + H(37 – H) = 720 –> (use a prop. distributiva)
H^2 – H + 37H – H^2 = 720
36H = 720 —> H = 720/36 = 20
Como havia 20 homens, havia 37 – 20 = 17 mulheres na festa
Autor: rodrigomath1986@ig.com.br - Categoria(s): Sem categoria
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17/04/2009 - 13:53
Vejamos os seguintes números:
- 634000
- 3100000
- 0,0014
- 0,00000366
São números que possuem uma quantidade razoável de zeros, não? Enquanto os dois primeiros são números muito grandes, com três ou mais zeros à direita, os dois últimos são bem pequenos, quase iguais a zero, com vários zeros à esquerda. Em suma, números decimais menores que um.
Todo número múltiplo de 10 possui ao menos um zero em seu final, então isso quer dizer que os dois primeiros números são mútliplos de 10 ou de alguma potência de dez, já que 100 = 10^2, 1000 = 10^3, etc.
Assim, o primeiro número, 634000, pode ser escrito como 634 * 1000 = 634 * 10^3. Bem mais simples, não? Esta notação que acabamos de ver se chama notação científica, pois é largamente usada nas ciências de física, química e biologia. A forma geral de números em notação científica é N * 10^n, onde:
- N é um número entre 1 e 10;
-n é um número inteiro, positivo ou negativo, que determina a ordem da notação.
Então temos 634 * 10^3. Como 634 não está entre 1 e 10, devemos fazer com que ele se “transforme” em um número entre 1 e 10. Se pusermos uma vírgula entre 6 e 3, chegamos a 6,34, que fica entre 1 e 10. Quantos algarismos há depois da vírgula? Dois! Logo, nosso expoente do dez deverá aumentar duas unidades, assim 634000 = 634 * 10^3 = 6,34 * 10^5. Agora tentem passar 3100000 para notação científica.
Nesse caso, a ideia geral é: vão para a “ponta direita” do número. Contem quantas casas você andará até que você ponha uma vírgula para que a parte “sem zeros” (no nosso caso, 634) fique entre 1 e 10. Conte quantas casas você andou. Essa quantidade será o expoente do 10. 6,34 * 10^5.
Agora, tratemos dos números entre 0 e 1, começando pelo 0,0014. Todo número entre 0 e 1 pode ser escrito como uma potência de 10, só que desta vez o expoente será negativo. Vamos lá? O número principal será o 14. Depois da vírgula há 4 casas, assim teremos o número 14 * 10^-4. Como 14 não está entre 1 e 10, poremos uma vírgula entre o 1 e o 4, aumentando assim um expoente no nosso 10. Assim, -4 + 1 = -3. No final temos que 0,0014 = 1,4 * 10^-3.
A ideia geral agora é: a partir da vírgula, ande com ela para a direita, até fazer com que a parte “sem zeros” (nesse caso 14) fique entre 1 e 10. Conte quantas casas foram andadas (nesse caso, 3). Este será o expoente do 10. Logo 1,4 * 10^-3. Tente agora com o número 0,00000366.
Adendo
Padrão de grandezas:
Giga —————————-> 10^9 = 1 bilhão
Mega (grama, metro, litro etc) ———> 10^6 = milhão
Quilo (grama, metro, litro, etc) ———-> 10^3 = mil
Unidades padrão (grama, metro, litro, etc) -> 10^0 = um
Centi (grama, metro, litro etc) ———> 10^-2
Mili (grama, metro, litro etc) ———-> 10^-3
Micro (grama, metro, litro etc) ——–> 10^-6
Nano (grama, metro, litro etc) ——–> 10^-9
Para converter, multiplique por 10^N, onde N é a diferença dos expoentes. Veja: quilo = 10^3 e metro = 10^0
10^(3 – 0) = 10^3 = 1000. Assim, para passar de quilômetro para metro (ou qualquer “quilo” para a unidade padrão), multiplique a medida por mil.
Outro exemplo: de grama para miligrama. grama -> 10^0 e miligrama = 10^-3, logo N = 0 -(-3) = 0 + 3 = 3.
Agora, um exemplo diferente: de centímetro para metro. centi = 10^2 e metro = 10^0, logo N = -2 + 0 = -2. Multiplique por 10^-2 = 0,01, que é a mesma coisa que dividir por 10^2.
No geral, de uma unidade maior para menor, multiplique; de uma unidade menor para maior, divida.
Exercícios resolvidos
1) (UFF – 2006) O nanômetro é a unidade de medida de comprimento usada em Nanotecnologia (Nano, do grego “anão”). Sabe-se que um metro equivale a 1 bilhão de nanômetros.
Considerando o diâmetro da Terra com 13.000 quilômetros, essa medida em nanômetros equivale a:
a) 1,3 * 10^16 b) 1,3 * 10^-16 c) 1,3 * 10^9 d) 1,3 * 10^4 e) 1,3 * 10^12
Solução: 1 quilômetro = 1000 metros, assim 13.000 km = 13.000.000 m
Passando esse número para notação científica, andamos 7 casas até chegarmos a 1,3. Logo, temos
1,3 * 10^7 m. Como 1 m = 10^9 nanômetros (1 bilhão = 10^9), 1,3 * 10^7 * 10^9 = 1,3 * 10^16 nm
Resp.: letra a
2) (UFF – 2009) The Internet Archive é uma organização sem fins lucrativos com o objetivo de catalogar e armazenar todas as páginas Web da Internet desde 1996. Atualmente, o sistema é gerenciado por cerca de 800 computadores pessoais e ele dispõe de aproximadamente 3 pentabytes de memória para armazenamento. Cada pentabyte equivale a 2^20 gigabytes.
Admitindo-se que um DVD comum é capaz de armazenar 4 gigabytes, então o número de DVDs necessários para armazenar 3 pentabytes:
a) está entre 2^16 e 2^17
b) está entre 2^17 e 2^18
c) está entre 2^18 e 2^19
d) está entre 2^19 e 2^20
e) é maior que 2^20
Solução: como os dados estão em potências de 2, passemos 4 para potência de 2, assim 4 = 2^2
Se 1 pentabyte equivale a 2^20 gigabytes, 3 pentabytes são 3 * 2^20 gigabytes.
1 DVD armazena 2^2 gigabytes; x DVDs armazenam 3 * 2^20 gigabytes.
Regra de três:
1 ———–> 2^2
x ———–> 3 * 2^20
2^2 * x = 3 * 2^20 —–> x = 3 * [(2^20)/(2^2)] = 3* 2^(20 -2) = 3 * 2^18.
Como 2 * 2^18 = 2^19, logo 3 * 2^18 > 2^19, mas menor que 2^20, que é 4 * 2^18
Logo, a reposta é letra d
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17/04/2009 - 13:52
Potências com expoente fracionário
Às vezes nos deparamos com números escritos da seguinte forma: 2^(1/2) (2 elevado a meio). O que isso quer dizer?
Vamos fazer a seguinte jogada: multiplicar 2^(1/2) por ele mesmo, ou seja, elevá-lo ao quadrado:
2^(1/2) * 2^(1/2) = 2^(1/2 + 1/2) = 2^(2/2) = 2^1 = 2
Ora, se 2^(1/2) é igual a 2, podemos afirmar que 2^(1/2) = sqrt(2), pois toda raiz quadrada de um número, quando elevada ao quadrado, resulta no número.
Exemplos: sqrt(3) —> este número ao quadrado é igual a 3.
Essa propriedade vale para quaisquer índices de raiz.
Exemplo: cbrt(4) —: este número elevado ao cubo é igual a 4, pois [cbrt(4)]^3=cbrt(4^3)=4
Logo, se tivermos uma potência com expoente fracionário, a regra é:
ISTO SIGNFICA UMA RAIZ DE ÍNDICE IGUAL AO DENOMINADOR DO EXPOENTE-FRAÇÃO, E O ELEMENTO DENTRO DA RAIZ SERÁ A BASE DA POTÊNCIA, ELEVADA AO NÚMERO QUE É O NUMERADOR DO EXPOENTE-FRAÇÃO
Exemplos: 2^(1/3) = cbrt(2^1) = cbrt(2); 5^(2/3) = cbrt(5^2) = cbrt(25) etc.
Dúvidas? Deixe um comentário e eu a esclarecerei.
Racionalização
Muitas vezes podemos encontrar o seguinte resultado para um problema:
1/[sqrt(2)] –> sabe-se que não existe número inteiro ou racional que seja solução da raiz quadrada de 2, assim devemos deixá-la como está. No entanto, para os matemáticos, uma raiz n-ésima no denominador de uma fração não é algo “bom”, pois, se quisermos usar o valor real da raiz de 2 (que é aproximadamente 1,4142), fica difícil dividir 1 por um número dizimal (dizimal é todo número que possui uma vírgula, como 2,34; 1,4444…; 3,14158967…). É mais conveniente dividir o dizimal por um inteiro. Por isso, nossa ideia é fazer com que o denominador vire um número inteiro, e no denominador haja alguma raiz. Para tentar entender como fazer isso, vamos lembrar que sqrt(2) = 2^(1/2). Acabamos de ver essa propriedade.
Assim, podemos reescrever a fração como 1/[2^(1/2)]. Veja que o expoente é 1/2. Se o expoente virar 1, o denominador será 2. Como fazer isso? Ora, se multiplicarmos tanto o numerador quanto o denominador por 2^(1/2), isso não altera a fração, já que será uma igualdade de frações (proporção, lembra? Se multiplicarmos ou dividirmos ambos as partes de uma fração por um mesmo número, ela não se altera).
Logo, podemos desenvolver: 1/[2^(1/2)] = 1 * [2^(1/2)] / [2^(1/2)] * [2^(1/2)] = 2^(1/2) / 2^(2/2) = 2^(1/2) / 2 = sqrt(2)/2.
Outros exemplos: 2/sqrt(3) = {2 * sqrt(3)} / {sqrt(3) * sqrt(3)} = 2 * sqrt(3)/sqrt(3^2) = 2 * sqrt(3) / 3
4/sqrt(5) = 4 * sqrt(5) / 5 —:> método “direto”, que você poderá fazer quando tiver entendido ambos os exemplos acima e treinado bastante.
Assim, se tivermos uma raiz quadrada no denominador, basta multiplicarmos tanto o numerador quanto o denominador pela tal raiz. Para treinar, capítulo 2 de nossa apostila.
E se o denominador for uma raiz de índice diferente de 2?
1/cbrt(3) = 1/[3^(1/3)] —> o expoente-fração é 1/3. Quanto falta para ele chegar a 3/3 = 1? 2/3, pois 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1. Assim, multiplicamos em cima e em baixo por…3^(2/3)! Essa é a ideia: conferir quanto falta para o expoente fracionário chegar a 1.
Multiplicando ambas as partes por 3^(2/3) temos:
1 * 3^(2/3) / 3^(1/3) * 3^(2/3) = 3^(2/3) / 3^(3/3) = 3^(2/3) / 3
Como 3^(2/3) = cbrt(3^2) = cbrt(9), a resposta final é cbrt(9) / 3.
Números conjugados
Abramos um parênteses agora na nossa matéria para falar de pares de números conjugados.
Veja os seguintes números: (2 + sqrt(3)) e (2 – sqrt(3)). O que eles têm em comum? As “parcelas” (entre as pas, pois na subtração não existem parcelas). E de diferente? O sinal. Um possui o sinal de mais, e o outro, o sinal de menos. Pares de números com essas características são chamados de números conjugados.
Exemplos: o conjugado de (5 + sqrt(6)) é (5 – sqrt(6)); o conjugado de (1 + sqrt(2)) é 1 – sqrt(2).
Por que estamos falando disso?
Vamos supor dois números, a e b, e formar conjugados com eles. Os números conjugados serão (a + b) e (a – b). Vamos multiplicar os conjugados? (a + b) * (a – b) —> usando a propriedade distributiva:
(a + b) * (a – b) = a^2 – ab + ab – b^2 = a^2 – b^2.
Resultado: a multiplicação de dois números conjugados entre sí é igual à diferença dos quadrados do primeiro e do segundo.
Exemplos: sqrt(2) + 1, e seu conjugado sqrt(2) – 1: sqrt(2)^2 = 2; 1^2 = 1.
Assim, (sqrt(2) + 1) * (sqrt(2) – 1) = 2 – 1 = 1
Vejamos outros casos:
sqrt(5) – 2 e sqrt(5) + 2; [sqrt(5)]^2 = 5; 2^2 = 4. Assim, (sqrt(5) – 2) * (sqrt(5) + 2) = 5 – 4 = 1
Às vezes, poderemos encontrar no denominador de uma fração uma soma ou diferença de dois números, em que ao menos um deles seja uma raiz quadrada inexata (ou seja, não possui raiz racional ou inteira).
Exemplo: 1/[sqrt(3) + 1]. Como proceder? Ora, precisamos que a raiz vire um número inteiro, e para isso ela deve ser elevada ao quadrado, para assim “anular” o poder da raiz. Como fazer isso? Multiplicando pelo seu conjugado, pois vimos agora há pouco que o produto dos conjugados é uma DIFERENÇA DE QUADRADOS. O conjugado de sqrt(3) + 1 é sqrt(3) – 1.
Assim, 1/[sqrt(3) + 1] = 1 * [sqrt(3) - 1] / [sqrt(3) + 1] * [sqrt(3) - 1]
= [sqrt(3) - 1] / {[sqrt(3)]^2 – 1^2} = [sqrt(3) - 1] / [3 - 1] = [sqrt(3) - 1] / 2
Outro exemplo: 2/[sqrt(5) - sqrt(2)] —> o conjugado de [sqrt(5) - sqrt(2)] é [sqrt(5) + sqrt(2)]
Logo: 2 * [sqrt(5) + sqrt(2)] / [sqrt(5) - sqrt(2)] * [sqrt(5) + sqrt(2)] = 2*[sqrt(5) - sqrt(2)]/(5 – 2)
= 2*[sqrt(5) - sqrt(2)]/3
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17/04/2009 - 13:52
Multiplicação de potências de mesma base
Suponhamos que queiramos multipicar as seguintes potências: 2^3 e 2^4
O resultado será: 2^3 . 2^4 = 2.2.2 x 2.2.2.2 = 2^7
Mas 3 + 4 = 7, logo, se tivermos duas ou mais potências de mesma base e quisermos multiplicá-las, manteremos a base e somaremos os expoentes.
E se, em vez de multiplicação, quisermos fazer divisão?
Ora, sabemos que a divisão é a operação inversa da multiplicação, e que a subtração, a inversa da adição. Logo, se tivermos duas potências de mesma base e quisermos dividi-las,manteremos a base e SUBTRAIREMOS os expoentes.
Exemplo: 3^6 dividido por 3^4 —> 3^6/3^4 = 3^(6 – 4) = 3^2 = 9
Obs1: se tivermos dois números de bases diferentes, mas expoentes iguais, e quisermos fazer o produto deles, multiplicaremos as bases e manteremos o expoente.
Ex: 5^4 . 3^4 = (5 . 3)^4 = 15^4
Obs2: todo número elevado a um expoente par será positivo, e todo número elevado a um expoente ímpar terá sinal igual ao da base.
Exemplos: 2^3 = 8, já (-2)^3 = -8. 2^2 = 4 E (-2)^2 = 4
ATENÇÃO! quando quisermos elevar um número negativo a uma potência, ele deverá estar dentro de parênteses, como foi visto nos exemplos acima. A falta de parênteses pode influir a um resultado errado, pois: -2^2 = = -4, pois estamos calculando o negativo de 2^2. Já (-2)^2 = 4, pois estamos elevando o número -2 ao quadrado.
Radiciação
Sabe-se que toda operação matemática possui uma operação inversa. A da adição, por exemplo, é a subtração. A radiciação é a operação inversa da potenciação. Ela nos serve quando queremos saber qual é o valor da base, sabendo-se o expoente.
Obs: para o blog, usaremos as seguintes notações para raiz:
-raiz quadrada (índice 2): sqrt(número). Exemplo: raiz quadrada de 9 = sqrt(9)
-raiz cúbica (índice 3): cbrt(número). Exemplo: raiz cúbica de 8 = cbrt(8)
-raiz de índice 4 ou maior que 4: Nrt (onde N é o número): Exemplo: raiz quarta de 81 = 4rt(81)
Exemplo: sqrt(9) = 3, pois 3^2 = 9;
cbrt (125) = 5, pois 5^3 = 125; 4rt(16) = 2, pois 2^4 = 16, etc.
Propriedades da radiciação (onde a e b são números reais):
Nrt (a . b) = Nrt(a) . Nrt(b) e Nrt (a/b) = Nrt(a) / Nrt(b)
Exemplo: sqrt (36 . 16) = sqrt(36) . sqrt(16) = 6 . 4 = 24;
cbrt (125/27) = cbrt(125) / cbrt(27) = 5/3
Obs.: quando o índice da raiz for um número par, obrigatoriamente a e b deverão ser números positivos; quando se tratar de divisão, independente do índice da raiz, o denominador sempre deverá ser diferente de zero.
Para sabermos qual é a raiz n-ésima (lê-se “nésima”, i.e., a raiz de índice n, n >=2), podemos usar do artifício da fatoração de números.
Exemplo: cbrt(216) = ? Fatoremos o número 216:
216 | 2
108 | 2
54 | 2
27 | 3
9 | 3
3 | 3
1
216 = 2^3 . 3^3 = (2 . 3)^3 = 6^3 -> como o índice da raiz é 3, a raiz cúbica de 216 é 6, pois 6^3 = 216. Resp: cbrt(216) = 6.
Porém, nem sempre as raízes terão resultados exatos.
Exemplo: sqrt(3) -> não se conhece número racional algum que elevado ao quadrado dá 3. Assim, deixaremos a raiz como está. Para calcular, podemos dispor de uma calculadora ou o problema dará o resultado, caso peça para substituir numa conta. No geral, usa-se sqrt(3) = 1,73, SOMENTE QUANDO SE PEDE PARA SUBSTITUIR A RAIZ POR UM NÚMERO “DECIMAL”. No geral, deixa-se como está.
Exemplo: sqrt(12). Fatoremos o número 12:
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1 12 = 2^2 . 3
Como o índice da raiz é 2, temos que sqrt(12) = 2 . sqrt(3), pois sqrt(12) = sqrt(2^2) . sqrt(3)
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17/04/2009 - 13:51
Potenciação é a operação matemática baseada na repetição de um fator n vezes e que depois será multiplicado. Para este blog, vamos usar a notação de que um número está elevado a outro da seguinte forma: a^n, onde:
a é um número real, que será chamado de base da potência;
n é um número, que será chamado de expoente da base.
O expoente (quando inteiro positivo) determina quantas vezes a base a será repetida e assim multiplicada.
Ex: 2^3 —> (lê-se “dois elevado a três ou dois elevado ao cubo”) = 2 x 2 x 2 = 8
3^4 —-> (lê-se “três elevado à quarta”) = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Se o expoente for negativo, como proceder?
Vejamos o seguinte exemplo: 2^-1
Siga o raciocínio a seguir:
2^3 = 8
2^2 = 4
2^1 = 2
2^0 = 1
Veja que, à medida que diminuo em uma unidade meu expoente, meu resultado será sempre a metade do anterior (2^3 = 8, e 2^2 = 8/2 = 4)
Assim, 2^0 = metade de 2^1 = 2/2 = 1. Aliás, qualquer número diferente de zero elevado a zero dá um.
Com esse raciocínio, podemos deduzir que 2^-1 será metade de 2^0, ou seja, metade de 1. Logo,
2^-1 = 1/2.
E 2^-2? Ora, será metade de 2^-1, assim será igual a 1/2^2 = 1/4
Percebeu algo? Veja que o nosso expoente ficou positivo, e o resultado é o inverso de caso o expoente fosse positivo. Inverso de um número é quando o numerador vira denominador, e vice-versa.
Qualquer número inteiro pode ser representado como se fosse o próprio número dividido por um.
Assim, 2 = 2/1; Logo, 2^-1 é o inverso de 2^1, ou seja, 1/2
2^-2 é o inverso de 2^2, ou seja, 1/2^2 = 1/4
Conclusão: se meu expoente for negativo, o resultado será igual ao inverso da minha base, elevada ao positivo do expoente.
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17/04/2009 - 13:51
1) (UERJ – 1999) Uma máquina copiadora que, trabalhando sem interrupção, fazia 90 fotocópias por minuto, foi substituída por uma nova com 50% mais veloz. Suponha que a nova máquina tenha de fazer o mesmo número de cópias que a antiga, em uma hora de trabalho ininterrupto, fazia.
O tempo mínimo, em minutos, que essa nova máquina gastará para realizar o trabalho é igual a:
a) 25 b) 30 c) 35 d) 40
Solução:
Se a nova máquina é 50% mais veloz, ela fará 90 + 50% de 90 cópias por minuto. como 50% de 90 = 45, ela fará 90 + 45 = 135 cópias por minuto.
A máquina antiga, em uma hora (60 minutos), fazia 90 x 60 = 5400 cópias.
Regra de três:
cópias tempo (min)
135 1
5400 t ————-> 135t = 5400 —-> t = 5400/135 = 40 minutos
Resp: letra d
2) (UFF – 2004) Para a estreia de um espetáculo foram emitidos 1800 ingressos, dos quais 60% foram vendidos até a véspera do dia de sua realização por um preço unitário de R$ 45,00.
Considerando que todos os ingressos emitidos serão vendidos, calcule por quanto cada ingresso deve ser vendido no dia do espetáculo, para que a arrecadação total com a venda dos ingressos seja igual a R$ 88.200,00
Solução:
Até a véspera do dia do espetáculo foram vendidos (60/100)x1800 = 1080 ingressos, cada um vendido a R$ 45,00, gerando até este momento uma arrecadação de 1080 * 45 = 48600 reais.
Para se chegar a 88200 faltam (88200 – 48600) = 39600.
Como já foram vendidos 1080 ingressos, restaram (1800 – 1080) = 720 ingressos.
Assim, cada um dos 720 ingressos restantes deverá ser vendido por 39600/720 = 55 reais
Resp.: 55 reais.
3) (UFF – 2006) A comissão recebida mensalmente por um vendedor é igual a 10% de seu salário-base. Em determinado mês foram acrescidos R$ 120,00 à comissão do vendedor. Assim, o valor total da comissão passou a ser igual a 25% de seu salário-base. Determine, a partir dessas informações, o valor do salário-base do vendedor.
Solução:
- Comissão inicial -> C1;
- Salário-base —-> Sb;
- Comissão após o acréscimo –> C2
C1 = 10% de Sb = (10/100)*Sb = Sb/10
C2 = C1 + 120 reais = 25% de Sb = (25/100)*Sb = Sb/4
Sb = 10*C1 e Sb = 4*(C1 + 120). Igualando as expressões temos
10C1 = 4C1 + 4*120 —> 10C1 – 4C1 = 480 —> 6C1 = 480 —> C1 = 80 reais.
Logo, o salário-base será 10*80 = 800 reais.
4) (UFF – 2001) Uma banda aceitou o convite para se apresentar numa apresentação beneficente, mas impôs a seguinte condição: iniciaria sua apresentação na hora combinada, desde que 50% das pessoas presentes na plateia houvessem ingressado gratuitamente.
Pouco antes do início da apresentação, das 700 pessoas presentes na plateia, apenas 30% havia ingressado gratuitamente.
A partir desse momento, permitiu-se apenas o ingresso gratuito de pessoas até que a exigência da banda fosse exigida,e então o acesso à plateia foi fechado. Nesse período, permitiu-se o ingresso gratuito de quantas pessoas?
Solução:
Havia 700 pessoas já na plateia, sendo 30% de pessoas que entraram de graça.
(30/100)*700 = 210 pessoas.
Como todas as pessoas que entrarem a partir do momento citado entrarão de graça, pecisamos fazer com que 210 se torne 490, pois 490 pessoas foram pagantes (já que 700 – 210 = 490)
De 210 para 490 faltam 490 – 210 = 280 pessoas
Resp.: mais 280 pessoas entraram de graça no evento.
5) (UFF – 2009) Um rali é realizado em um circuito que passa por diferentes partes da região nordestina: 2/5 na Zona da Mata, 3/7 em terras do sertão e os 108 km restantes na mata dos cocais.
a) Determine o comprimento do circuito completo.
Solução: m.m.c (5,7) = 35, logo 2/5 = 14/35 e 3/7 = 15/35
2/5 + 3/7 = 14/35 + 15/35 = 29/35. Logo, 108 = 6/35 do circuito completo.
Assim, o circuito mede 6x/35 = 108 —> x = 630 km
b) Sabendo-se que 25% do percurso que se encontra na zona da mata está asfaltado, 10% do percurso que se encontra no sertão está asfaltado e que apenas 36 km do percurso na mata dos cocais está asfaltado, determine o percentual, em relação à medida do circuito inteiro, da parte asfaltada do circuito.
Solução: 2/5 de 630 está na zona da mata —> (2/5)*630 = 252 km
Apenas 25% está asfaltada nessa parte, assim (25/100) * 252 = 63 km (I)
3/7 de 630 está no sertão —–> (3/7) * 630 = 270 km
Apenas 10% está asfaltado nessa parte, assim (10/100) * 270 = 27 km (II)
Somando (I) e (II) com 36 km, a parte asfaltada do cocais, temos 63 + 27 + 36 = 126 km
Assim, 126/630 = 1/5 = 20/100 = 20%
Resp.: 20% estão asfaltados.
6) (UFF – 2001) O salário de Marisa correspondia a 25% do salário de Leila, até que, em Dezembro de 2000, Marisa recebeu um aumento de 60% em seu salário, permanecendo inalterado o salário de Leila. Indicam-se os salários atuais de Leila e Marisa por L e M, respectivamente. Desse modo, M é igual a:
a) 25% de L
b) 40% de L
c) 60% de L
d) 100% de L
e) 250% de L
Solução: em problemas em que não temos envolvidas quantidades reais (quilo, reais, litro etc), indiquemos a quantidade como 100. Assim, Leila recebe 100 e Marisa, 25% de 100 = 25.
Marisa então recebeu um aumento de 60% —> 60% de 25 = 25 * (60/100) = 15
Logo, seu novo salário é igual a 25 + 15 = 40.
Assim, 40/100 = 40% de L Resp.: letra b
7) (UERJ – 2004) Um litro de combustível para aviões a jato tem massa igual a 1,8 libras medida no sistema inglês de unidades. A mesma massa, no sistema internacional, equivale a 810 g.
Suponha que o tanque de um determiando tipo de avião, quando cheio, contém 900 kg de combustível.
Se, por engano, a massa de 900 kg de combustível for medida em uma balança calibrada em libras, podemos afirmar que a porcentagem preenchida do tanque desse avião será de:
a) 9%
b) 45%
c) 50%
d) 90%
Solução:
Sabemos que 1,8 libras = 810 gramas, e que 900 kg = 900.000 gramas, assim:
1,8 —–> 810 gramas
x ——> 900.000 gramas
810x = 1620000 —> x = 2000 libras
Assim, 900 kg = 2000 libras.
A razão entre quilos e libras é igual a 9/20 = 45%
Resp.: letra b
(UFRRJ-2007) Uma parcela de R$ 90,00 de um empréstimo deveria ter sido paga no dia 2 de um determinado mês. Quando um pagamento é atrasado, incidem sobre o valor a parcela multa de 2% e juros de mora diários de R$ 1,20. Calcule o valor pago se o pagamento da parcela for feito no dia 14 de tal mês.
Solução:
O valor dos juros da mora será a quantidade de dias de atraso multiplicado por R$ 1,20. 14 – 2 = 12 dias de atraso, assim a mora será de 12 * 1,20 = R$ 14,40. A multa de 2% será igual a 2% de 90, que é igual a R$ 1,80.
Assim, o valor a ser pago será 90 + 1,80 + 14,40 = R$ 106,20
9) (FGV-SP – 2007) Uma empresa acredita que, diminuíndo 8% o preço de determinado produto, as vendas aumentam cerca d 14%. Suponha que a relação entre o preço do produto e a quantidade vendida seja proporcional. Nesse caso, uma redução de 14% no preço do produto acarretará um aumento na quantidade vendida de:
a) 18,4%
b) 20%
c) 26,5%
d) 24,5%
e) 8%
Solução: como as grandezas são proporcionais, basta fazermos uma regra de 3:
8% de desconto ———-> 14% no aumento das vendas
14% de desconto ———> x% no aumento das vendas
8x = 14 * 14 —> x = 196/8 = 49/2 = 24,5%. letra d
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17/04/2009 - 13:50
Aplicações
1) Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preço fosse aumentado em 20%, quanto passaria a custar?
Sabe-se que:
. o aumento seria 20% de 32 = (20/100) x 32 = 6,4;
. o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40
2) O preço de um produto sofreu um reajuste de 12%, aumentando para R$ 60,48. Qual era o preço desse produto antes do reajuste?
Sendo p o preço antes do reajuste, temos que:
p + 12% de p = 60,48 —> 1,12p = 60,48 —> p = 60,48/1,12 = 6048/112 = 54
O preço antes do reajuste era igual a R$ 54,00
3) Um comerciante elevou o preço de suas mercadorias em 50% e divulgou, no dia seguinte, uma remarcação com desconto de 50% em todos os preços. O desconto realmente concedido em relação aos preços originais foi de:
a) 40% b) 36% c) 32% d) 28% e) 25%
Suponha que os preços fossem iguais a 100.
No aumento, eles passariam a custar 100 + 50% de 100 = 100 + 50 = 150
No desconto, que seria aplicado no preço de 150, eles passriam a custar 50% de 150 = 75
Assim, o desconto foi de 25, que corresponde a 25% em relação ao preço original.
Resp: letra e
4) Dentre os 1250 médicos que participaram de um congresso, 48% eram mulheres. Dentre as mulheres, 9% eram pediatras. Quantas mulheres pediatras havia no congresso?
Nesse caso nós temos uma situação de calcular duas porcentagens.
Primeira parte: calcular 48% de 1250, que é a quantidade de mulheres. Como 48% = 48/100, temos:
(48/100)*1250 = 600
Agora, calculemos 9% de 600, que é o número de mulheres pediatras.
(9/100)*600 = 54
Ou, de uma forma direta, jogamos das duas porcentagens direto em uma conta só.
Assim, (48/100) x (9/100) x 1250 = 54
Logo, havia 54 mulheres pediatras no congresso
Autor: rodrigomath1986@ig.com.br - Categoria(s): Sem categoria
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